Clotóide

Nome da curva:

Clotóide ou Espiral de Cornu ou Espiral de Euler

Equações canônicas:

\left\{\begin{matrix} x=a \sqrt{\pi}\int_{0}^{t}cos(\frac{\pi}{2}u^{2})du\\ y=a \sqrt{\pi}\int_{0}^{t}sen(\frac{\pi}{2}u^{2})du \end{matrix}\right. (Equação paramétrica utilizando as integrais de Fresnel)  [4]

Propriedades matemáticas (analíticas):

– Ângulo da tangente (derivada) em um ponto, definido de acordo com o parâmetro t, com a horizontal [3]:

\theta = \frac{\pi}{2}t^{2}

Propriedades geométricas:

– É a curva com a curvatura igual ao comprimento. [6]

História:

Descoberta por Euler em 1743, que demonstrou sua convergência após 38 anos de estudo[1], foi usada por Cornu para representar a difração ótica. [4]

A sua aplicação à construção de ferrovias surgiu no trabalho “The Railway Transition Spiral” (1901), de Arthur Newell Tabot, no qual o autor define curva de transição e demonstra que a curva para a transição entre trechos circulares e tangentes em uma ferrovia é aquela na qual a curvatura varia continuamente de forma proporcional ao comprimento do arco, minimizando as sensações desagradáveis causadas pela força centrífuga no trem durante a curva. Tabot mostra que a equação dessa curva é dada pelas integrais de Fresnel, ou seja, a curva é a espiral de Cornu. [1]

Motivações para o uso na arquitetura e construção civil:

– Em uma ferrovia ou rodovia, a clotóide é a “curva de transição” entre uma seção retilínea e uma circular, duas retilíneas ou duas circulares da via, podendo ser aproximada por uma parábola cúbica ou uma lemniscata nas imediações da origem e por uma espiral de Lituus quando distante da origem. [2, 3]

– Seu uso em rodovias tem interesse paisagístico, por valorizar a relação com a natureza, e de segurança, pois as curvas na pista deixam o motorista mais alerta. [5]

Exemplos na arquitetura:

Curva no viaduto de Corso Francia (Vittorio Cafiero, Adalberto Libera, Amedeo Luccichenti, Vincenzo Monaco, Luigi Moretti e Pier Luigi Nervi), conexões entre segmentos da Reichsautobahn (Fritz Todt, Alwin Seifert, Ungewitter, et. al.).

Bibliografia:

[1] AGNEW, Jeanne L., CHOIKE, James R. Transitions. In: The College Mathematics Journal, vol. 18, n° 2. Mathematical Association of America, 1987. Disponível em: http://www.jstor.org/stable/2686500 – Acessado em 188\2012.

[2] DAVIS, H. T. Resumo da conferência “The True Transition Curve and some of its Approximations”, de E. M. Berry em: The Third Meeting of the Indiana Section. In: The America Mathematical Monthly, vol. 33, nº 8. Mathematical Association of America, 1926. Disponível em: http://www.jstor.org/stable/2298324 – Acessado em 188\2012.

[3] MEEK, D. S., WALTON D. J. Clothoid Spline Transition Spirals. In: Mathematics of Computation vol. 59, n° 199. American Mathematical Society, 1992. Disponível em: http://www.jstor.org/stable/2152983 – Acessado em 188\2012.

[4] PICKOVER, Clifford A. Mathematics and Beauty: A Sampling of Spirals and “Strange” Spirals in Science, Nature and Art. In: Leonardo, vol. 21, n° 2. The MIT Press, 1988. Disponível em: http://www.jstor.org/stable/1578555 – Acessado em 188\2012.

[5] ROLLINS, William H. Whose Landscape? Technology, Fascism and Environmentalism on the National Socialist Autobahn. In: Annals of the Association of American Geographers, vol. 85 n° 3. Taylor & Francis, Ltd, 1995. Disponível em: http://www.jstor.org/stable/2564512 – Acessado em 188\2012.

[6] Visual Dictionary of Special Plane Curves: http://xahlee.org/SpecialPlaneCurves_dir/Clothoid_dir/clothoid.html – Acessado em 12/03/2011

1 comments on “Clotóide”

  1. Importante, também, nas ferrovias de alta velocidade, pois proporciona uma aceleração centrípeta mais suave. Sem a Clotóide, a transição seria abrupta. Uma das reações, por exemplo o movimento retilíneo para o movimento circular teria que ser instantânea. Como cada vagão tente a permanecer reto ou permanecer girando sobre o próprio eixo, essa seria uma das reações que jogaria o trem pela tangente.

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